2005年12月01日

直行行列は回転行列

行列UがU'U=Iとなるとき、Uは直行行列である。
ここでU'は行列Uの転置、Iは単位行列を表す。

xをベクトルとすると、y=Uxと線形変換したとき、
yはxを回転したものになる。

yのノルムは
||y||=y'y=(Ux)'(Ux)=x'U'Ux=x'x=||x||
とxのノルムと等しく、

また、

y=Uxとw=Uzの内積は
y'w=(Ux)'(Uz)=y'U'Ux=y'x
とxとuの内積に等しくなる。

つまり、直行行列による線形変換は大きさも、xとzが成す角も保存する、
回転させる変換となるわけです。

プログラミングのための線形代数
プログラミングのための線形代数


posted by xi at 23:20 | Comment(0) | TrackBack(0) | 機械学習
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